 \documentclass[a4paper,11pt]{article}

 \usepackage{avm,graphicx}
 \usepackage[utf8x]{inputenc}
 \usepackage[authoryear]{natbib}
 \usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb}
 \usepackage{verbatim}
 \usepackage{color}
 \usepackage{uml}
 \usepackage{chngpage}
 \usepackage{fmtcount}
 \usepackage{listings}
 \usepackage{subfigure}
 \usepackage{pdflscape}
%  \usepackage{qtree}
\begin{document}

\title{Übung 1\\ Abgabe: 31. Mai, 12.00 a.m.}
\date{}
\maketitle
%\large \textbf{Übung 2\\ Abgabe}\normalsize\\ \ \\
\begin{enumerate}
 \item Gegeben sei die folgende Pfadgleichung:
\ \\
$<$b:d$>$ = +\\
$<$e:b:c$>$ = + \\
$<$e:b:d$>$ = - \\ 
$<$b:d$>$ = $<$b:c:a$>$\\
$<$e:b:c$>$ = $<$e:a$>$
\begin{enumerate}
\item Welche der drei unten stehenden Attribut-Wert-Matrizen beschreibt
  die Merkmalstruktur der oben stehenden Pfadgleichung? Bitte
  begr{\"u}nden Sie, warum jeweils anderen AVM ausscheiden.\\ \ \\
\begin{avm}
(a) \[b:\[d: \@2 \\ c:\[a:\@2 \] \] \\ e: \[b: \[c: \@1 \\ d: - \]\\ a: \@1 +  \] \] 
(b) \[b: \[c:\[a:\@1\] \\ d:\@1\]\\ e: \[b: \[c:\@1 \\ d: - \] \\ a:\@1+ \] \]
(c) \[e:\[b: \[c:\@1 \\ d:-\] \\ a:\@1+\]\\ b:\[d: \@2 + \\ c: \[a:\@2 + \]\] \]
\end{avm}\\ \ \\
% \textbf{L{\"o}sung}\\ \ \\
% (a) scheidet aus, da f{\"u}r die Pfade $<$b:d$>$ und $<$b:c:a$>$ die atomare Wert + nicht spezifiert ist. (a) subsumiert die oben beschriebene Merkmalstruktur, aber ist nicht {\"a}quivalent\\
% In (b) sind $<$e, b, c$>$ und $<$b:d$>$ token-identisch statt type-identisch, d.h., in (b) haben $<$e, b, c$>$ und $<$b:d$>$ per Definition die gleiche Werte, in der Pfadgleichung sind die Werte nur zuf{\"a}lligerweise beide +. Die oben beschriebene Merkmalstruktur subsumiert also (b), aber nicht umgekehrt.\\
% (c) und oben stehende Pfadgleichung sind {\"a}quivalent 
\item Was passiert, wenn man folgende Gleichung hinzuf{\"u}gt?\\ \ \\
$<$e:b$>$ = $<$b$>$\\ \ \\
\end{enumerate}

\item \textbf{Lattice/Verband}\\
\begin{figure}[h!]
 \includegraphics[width=1.4in]{lattice-ex}
\end{figure}
Gegeben sei $P = \{a, b, c, d\}$, wo $a < c, a < d$ und $b < c, b < d$,
abgebildet in der oben stehenden Figur.
\begin{itemize}
\item[a] Was sind $\{c, d\}^l$, $\{a, b\}^l$,  $\{a, b\}^u$ und $\{c, d\}^u$?\\(M. a. W. was sind die  untere Schranke (lower bound) von $c,d$ und $a,b$ und die obere Schranke (upper bound) von $a,b$ und $c,d$?)\\
% \textbf{L{\"o}sung:}\\ \ \\
%  $\{c, d\}^l$ = $\{a, b\}$\\
%  $\{a, b\}^l$ = $\emptyset$\\  
%  $\{a, b\}^u$ = $\{c, d\}$\\
%  $\{c, d\}^u$ = $\emptyset$\\ 
\item[b] Was sind also sup$\{a,b\}$ (Supremum von $a$ und $b$) und inf$\{c,d\}$ (Infimum von $c$ und $d$)?\\
% \textbf{L{\"o}sung:}\\
% sup$\{a,b\}$ und inf$\{c,d\}$ existieren nicht, da $\{a, b\}^u$ verscheidene kleinste Elementen hat ($c$ und $d$) und $\{c, d\}^l$ verschiedene gro{\ss}te Elementen hat ($a$ und $b$).\\
\item[c] Ist $P$ ein Verband? Bitte begr{\"u}nden Sie Ihre Antwort.\\
% \textbf{L{\"o}sung:}\\
% $P$ ist kein Verband: in einem Verband gilt da{\ss} jedes Paar $x,y$ ein Infimum und ein Supremum hat: in $P$ haben die Paren $a,b$ und $c,d$ weder Infimum noch Supremum.\\ 
\item[d] {\"A}nderen Sie die oben stehende Figur so da{\ss} sie doch
  ein Verband darstellt. Wieviele Knoten müssen Sie hinzufügen?
  Welche Ordnungsrelationen haben die neue Knoten mit $a$, $b$, $c$
  und $d$? Geben Sie nur die Relationen die relevant sind um das
  Supremum und Infimum von unterschiedliche Knoten zu finden.\\
% \textbf{L{\"o}sung:}
% \begin{figure}[h!]
%  \includegraphics[width=2.4in]{lattice-loes}
% \end{figure}
% Drei neue Knoten sind notwendig:\\
% $g$: $g < a, g < b$\\
% vorher: $\{a, b\}^l$ = $\emptyset$, jetzt: $\{a, b\}^l$ = $g$ = inf($a,b$)\\
% $e$: $e > c, e > d$\\
% vorher: $\{c, d\}^u$ = $\emptyset$, jetzt  $\{c, d\}^u$ = $e$ = sup($c,d$)\\
% $f$: $f > a, f > b$, und $f < c, f < d$\\
% vorher: $\{c, d\}^l$ = $\{a, b\}$, jetzt  $\{c, d\}^l$ = $\{a, b, f\}$, wo $f$ das gro{\ss}te Element ist ($f > a, f > b$)\\
% vorher: $\{a, b\}^u$ = $\{c, d\}$, jetzt $\{a, b\}^u$ = $\{c, d, f\}$, wo $f$ das kleinste Element ist ($f < c, f < d$)\\
 \end{itemize} 

\item Schreiben Sie eine Grammatik f{\"u}r die Sprache a$^m$ b c$^n$
  d$^m$ ($m, n \geq 1$). Ordnen Sie die Sprache auf der
  Chomsky-Hierarchie ein und begr{\"u}nden Sie, warum (a) eine
  Grammatik dieses Typs ausreichend ist, und (b) mindestends eine
   Grammatik dieses Typs erforderlich ist.\\ 
%   \ \\\textbf{L{\"o}sung:}\\ \ \\ S --$>$
%   a S d\\ S --$>$ a b C d\\ C --$>$ c C\\ C --$>$ c\\ \ \\ Es h{\"a}ndelt
%   sich um eine kontextfreie Grammatik (Grammatik Type 2)\\ (a)
%   Die oben stehende Grammatik ist kontextfrei und beschreibt die
%   Sprache.\\ (b) Eine regul{\"a}re Grammatik k{\"o}nnte die Sprache
%   nicht beschreiben, weil am Ende der Ausdr{\"u}ck genau so viele d's
%   stehen m{\"u}ssen wie am Anfang a's, das kann nur dann erreicht werden
%   wenn die terminale Symbolen a und d links und rechts von einem
%   nicht-terminale Symbol stehen.
\item {\"U}berlegen Sie, ob folgende Sprache vom gleichen Typ sind ($m, n \geq 1$):
\begin{itemize}
\item[(a)] a$^m$ b$^n$ c$^m$ d$^n$
\item[(b)] a$^m$ b c$^n$ d
\item[(c)] a$^m$ b$^n$ a$^n$ b$^m$
\end{itemize}
Ordnen Sie die Sprachen jeweils auf der Chomsky-Hierarchie
ein.\\ 


\item Schreiben Sie eine LFG-Grammatik, die Sätze der folgenden Form erkennt:
\begin{enumerate}
\item Der Lehrer schläft.
\item Sie gibt dem Lehrer einen Stock.
\item Ein Schüler erschlägt den Lehrer.
\end{enumerate}
Die Grammatik besteht aus funktional annotierten PS-Regeln und den
Lexikoneinträgen (für Verben, Nomina, Pronomina,
  Artikel). Die Grammatik sollte die hier
  aufgeführten Sätze erfassen und nicht
  {\"u}bergenerieren.\\
Konzentrieren Sie sich auf die Behandlung der folgenden Phänomene:
\begin{itemize}
\item Kongruenz
\item Subkategorisierung
\item Kasus
\end{itemize}
Benutzen Sie au{\ss}er den grammatischen Funktionen folgende
Attribute: \sc gen \normalfont (Genus), \sc num \normalfont (Numerus)
\sc pers \normalfont (Person), \sc case \normalfont (Kasus) und \sc det \normalfont (für den semantischen Beitrag von Artiklen).\\ \ \\
Nehmen Sie folgendes Inventar von grammatischen Funktionen an: SUBJ, OBJ (Akkusativobjekt) und OBJ2 (Dativobjekt).\\ \ \\
\item Zeichnen Sie die K-Struktur und F-Struktur f{\"u}r \textit{Sie schenkt dem Lehrer einen Stock}. Achten Sie dabei auf die funktionale Annotationen.\\ \ \\


\end{enumerate}



% \textbf{L{\"o}sung}\\ \ \\
% Der Graph wird inkonsistent, da der Teilgraph \begin{avm}\[d: +\]\end{avm} unter dem Pfad $<$b$>$ und der Teilgraph \begin{avm}\[d: -\]\end{avm} $<$e:b$>$ unterschiedliche Werte aufweisen.
\newpage
\end{document}
